Quem é o Centro de Massa em um Sistemas de Partículas ¶
Um vídeo para ilustrar o que estamos dizendo.
Essa ciência pode ser aplicada em diversas áreas do conhecimento e tem uma relação estreita com aplicações cotidianas.¶
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- Cabe apenas uma resalva, em automobilismo, ciclística de motocicletas e outros sistemas automotivos, é comum usar o TERMO CENTRO de GRAVIDADE. Mas sempre que valer a aproximação de gravidade constante, o CM coincide com o Centro de Gravidade. Em problemas automotivos inclusive.
Definição formal do Centro de Massa:¶
2ª Lei de Newton para o CM:
Pela segunda Lei de Newton.
$$\vec{F}_{ext\;cm}=\frac{d\vec{P}_{cm}}{dt}\quad\rightarrow Caso\;Geral.$$Onde $ \vec{P}_{cm}=M_{cm}\;\vec{a}_{cm}$ é o Momento Linear do CM.
Ou para o caso em que a massa se conserva,
$$\vec{F}_{ext\;cm}=M_{cm}\;\vec{a}_{cm}\quad,$$onde a aceleração do centro de massa é $\vec{a}_{cm}=\frac{d\vec{v}_{cm}}{dt}=\frac{d^2\vec{r}_{cm}}{dt^2}$
Considerações sobre o CM sempre são necessarias?:¶
Não são!! Mas elas também resolvem os problemas e em alguns casos são o melhor caminho para resolução de problemas.
Exemplo trivial: Pessoa e um lago congelado:¶
Desejamos
- Velocidade do patinador = $v_p$
O que sabemos?
- Massa das roupas = $m_r$ = 15 kg
- Massa do patinador (com um pouco menos de roupa) = $m_p$ = 90 -15 = 75 kg
- Velocidade das roupas = $v_r$
- Atrito é despresível, então na horizontal, só existem forças internas. Portanto ...
Solução que não mensiona o CM.
Momento Linear se conserva¶
$$\Delta P=P_f-P_i=0\Rightarrow P_i=P_f$$- $P_i=0$, patinador parado com todas as roupas.
- $P_f=m_r\;v_r+m_p\;v_p$, patinador arremessa parte das roupas.
Usando a conservação do Momento Linear,
$$m_r\;v_r+m_p\;v_p=0\;\Rightarrow\; v_p=-\frac{m_r}{m_p}\;v_r $$Substituindo Valores:
Resposta: A velocidade do patinador $v_p$, será igual a 1/5 a velocidade das roupas.
Solução usando CM.
Sistema isolado, CM mantém seu movimento ¶
No caso ele está parado, então continuará parado.
Colocamos a referência sobre o centor de massa e a seguir calculamos a posição relativa do patinador e das roupas após o arremesso. Como o movimento é só na horizontal, podemos usar uma variável x por exemplo.
$x_{cm}=\frac{m_r\;r_r+m_p\;r_p}{m_r+m_p}=0\;\Rightarrow\;r_p=-\frac{m_r}{m_p}\;r_r$
O que vale para posição relativa, valerá para velocidade, via derivação.
$$v_p=-\frac{m_r}{m_p}\;v_r$$Resposta: A velocidade do patinador $v_p$, será igual a 1/5 a velocidade das roupas.
Simetrias e o Centro de Massa.¶
Exemplo mais interessante: Movimento interno em um barco¶
Desejamos
- Centro de Massa do Barco $= CM_b$
- Centro de Massa do Barco $= CM_{sis}$
- Deslocamento do barco $=\Delta x_b=?$
O que sabemos?
- Tamanho do barco $=l=$ 3 m
- Massa do Barco $=m_b=30\;kg$
- Posição inicial de Peter $=x_{pi}=$meio do barco
- Posição final de Peter $x_{pf}=$ mesmo lugar da Sodra
- Massa do Peter $=m_b=90\;kg$
- Posição inicial e final de Sodra $=x_{s}=$extremidade do barco.
- Massa do Sodra $=m_s=50\;kg$
- Sistema isolado, só atuam forças internas...então
- O CM do sistema não altera sua posição com relação a um observador fora do barco.
Solução a)¶
Todo o problema se resolve na horizontal, então não há necesssidade de discutir a componente VERTICAL de qualquer centro de massa. O barco é simétrico, e tem 3 m de comprimento.
Então por simetria, o centro de massa deve estar no MEIO da distribuição, ou seja a 1.5 m de qualquer extremidade.
Solução b)¶
Um CM qualquer de um membro do sistema pode ser combinado a outros objetos para compor o CM geral do Sistema de muitas partículas.
Nosso sistema é composto por Peter, Sodra e Barco.
Vamos colocar a origem do sistema de coordenadas do Sistema no centro do barco (mesma posição do CM do barco) e mesma posição inicial de Peter. Sodra está em uma extremidade (é relevante saber qual nesse problema?)...
Não é relevante, então vamos por Sodra a Esquerda como na foto. E como colocamos a origem das coordenadas no centro do barco, ela estará na posição $x_s=-1.5$.
Usando a definição de CM, encontramos que,
$$x_{cm}=\frac{m_s\;x_s+m_p\;x_p+m_b\;x_b}{m_b+m_s+m_p}$$Substituindo
$$x_{cm}=\frac{50\cdot(-1.5)+90\cdot0+30\cdot0}{170}\approx - 0.44\;m $$Resposta:
O centro de massa do sistema está deslocado na direção de Sodra, e dista 0.44m do centro do barco.
Solução c)¶
Como dissemos acima, o sistema é isolado, então o CM não se mexe, apesar dos movimentos internos.
E sobre os movimentos interno peter mudou de posição, o barco e Sodra mudaram de lugar mas sem mudar de posição relavia um em relação ao outro. E o CM não mudou de lugar.
Uma forma inteligente de proceder é usar essas variações dentor da definição de CM.
$$\Delta x_{cm\;sis}=\frac{m_s\;\Delta x_s+m_p\;\Delta x_p+m_b\;\Delta x_b}{m_s+m_p+m_b}=0 $$Substituindo o que constatamos,
$$(m_s+m_b)\;\Delta x_b+m_p\; (x_{p\;f}-x_{p\;i})=0 $$Peter se senta com Sodra, então $x_{p\;f}=x_{s\;f}$. Curiosidade, notem que Sodra e o Barco podem ser entendidos como um sistema composto.
Vamos somar e subtarir a posição inicial de Sodra no segundo termo
$$(m_s+m_b)\;\Delta x_b+m_p\; (x_{s\;f}-x_{s\;i}+x_{s\;i}-x_{p\;i})=0 \Rightarrow$$$$(m_s+m_b+m_p)\;\Delta x_b+m_p(x_{s\;i}-x_{p\;i})=0$$Finalmente,
$$\Delta x_b=\frac{m_p}{m_s+m_b+m_p}\;(x_{p\;i}-x_{s\;i})$$Substituindo valores,
$$\Delta x_b=\frac{90}{50+30+90}\;(0+1.5)\approx 0.794$$Respostas:¶
O barco (e Sodra) se descolam 0.794 para direita, em função do movimento para esquerda de Peter.
Verificação:¶
Se o que falemos foi verdade, então a posição do CM não deve ter mudado. Vamos revisitar o item b.
| Objeto ou Pessoa |
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|---|---|---|
| Peter | $0$ | Com Sodra |
| Sodra | $-1.5$ | $-0.706$ |
| CM Barco | $0$ | $0.794$ |
| CM Sistema | $-0.44$ | $-0.44$ (Será?) |
resposta=((50+90)*(-0.706)+30*0.794)/(50+90+30)
print('Verificando, posição no Centro de Massa no Final é,',np.round(resposta,2), ', e é a mesma do início.')
Exemplo mais interessante: Explosão de bomba no ar¶
Dados:
- Velocidade Inicial do conjunto : $v_0=72;km/h=20\;m/s$
- Parte do projétil (identificada com índice 1) desce vertical para baixo: $v_{1\;d}=0$
- A explosão ocorrer no ponto mais elevado da trajetória.
- Massa da parte que desce na vertical: $m_1$
- Massa da outra parte: $m_2=3\;m_1$
Situação:
Se não houvesse explosao, esse seria um tıpico problema de lancamento e alcance, porém o objeto explode em 2 partes. Em todo caso, explosões são forças internas do sistema, portanto o movimento do Centro de Massa (CM) se mantera inalterado.
Solução:
Vamos usar um referencial sobre o centro de massa para identificar qual relação deve existir na distribuição de massas após a explosão para que o CM permaneça na origem em todos os instantes.
Agora vamos descobrir a posição dos outros envolvidos com relação ao centro de massa:
- Posição do canhão: O canhão dispara e a posição final do CM, com ou sem explosão é a mesma. Estabelecido que o CM é a origem sempre, em particular depois que os movimentos acabam a distância CM x Canhão é igual ao alcance (A).
O alcance de um ponto descrito pela equação:
$$A=2\;\frac{v_0^2}{g}\;sen(\theta)cos(\theta)=\frac{v_0^2}{g}\;sen(2\theta)$$Portanto a posição do canhão em relação do CM é $$\vec{R}_{canh}=-\frac{v_0^2}{g}\;sen(2\theta)\;\hat{x}$$
Ou em valores numéricos:
$$\vec{R}_{canh}=-40\;\hat{x}$$Foi relatado que a explosão ocorre no ponto mais elevado, e que o fracmento $m_1$ cai vertical para baixo a partir desse ponto. No fim do movimento, esse fragmento estará na metade da distância entre o CM e o Canhão.
Portanto a posição de $m_1$ em relação do CM é $$\vec{R}_{1}=-\frac{v_0^2}{2\;g}\;sen(2\theta)\;\hat{x}$$
Ou em valores numéricos:
$$\vec{R}_{1}=-20\;\hat{x}$$Usando a relação (1), obtemos a posição $\vec{R}_2$ :
Portanto a posição de $m_2$ em relação do CM é $$\vec{R}_{2}=\frac{m_1}{m_2}\;\frac{v_0^2}{2\;g}\;sen(2\theta)\;\hat{x}=\;\frac{v_0^2}{6\;g}\;sen(2\theta)\;\hat{x}$$
Ou em valores numéricos:
$$\vec{R}_{2}=\frac{20}{3}\;\hat{x}$$Agora temos a distribuição de pontos com o CM na origem. Vamos calcular a distância entre os pontos $R_1$ e $R_2$ e o Canhão $R_{canh}$.
- $D_{1\;canh}=|\vec{R}_{1}-\vec{R}_{canh}|=|-20+40|=20m$
- $D_{2\;canh}=|\vec{R}_{2}-\vec{R}_{canh}|=|\frac{20}{3}+40|=\frac{140}{3}\approx46.67m$
Uma solução diferente dessa está em T6 Gabarito, disponível para Donwload na plataforma desse curso. Os resultados alcançados são os mesmos quando utilizamos os mesmos dados. (Revise isso te fará bem!)
Qual a questão mais relevante no momento?
Obter a posição do centro de massa, e assim avaliar eventuais movimentos.
Obrigado a todos pela presença!
Próxima aula mais sobre a obtenção do Centro de Massa.